\begin{flalign*} & \textbf{Erster Teil - das ist für eine kleine Portion Cevapcici} && \\ &(a) \quad \text{Lösen Sie das Gleichungssystem:} \\ &\quad\quad \begin{cases} 3x + 2y - z = 10 \\ 2x - y + 3z = 5 \\ x + 3y - 2z = 3 \\ \end{cases} && \\ &(b) \quad \text{Berechnen Sie die Ableitung der Funktion } f(x) = \sin(2x) + e^x && \\ &(c) \quad \text{Lösen Sie die Differentialgleichung: } \frac{dy}{dx} = 3x^2 - 2x + 1, \quad y(0) = 2 && \\ &(d) \quad \text{Berechnen Sie das bestimmte Integral: } \int_{0}^{1} x^2 \cos(x) \, dx && \\ &(e) \quad \text{Zerlegen Sie die Funktion } f(x) = \frac{1}{(x-1)(x+2)} \text{ in Partialbrüche.} && \\ &(f) \quad \text{Berechnen Sie die Laplace-Transformation der Funktion } f(t) = 3e^{2t} \sin(4t) && \\ &(g) \quad \text{Berechnen Sie die Determinante der Matrix:} \\ &\quad\quad \begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & 4 & 2 \\ -1 & 2 & 1 \\ \end{vmatrix} && \\ &(h) \quad \text{Zeigen Sie, dass die Funktion } f(x) = x^3 \text{ auf der Menge der reellen Zahlen invertierbar ist.} && \\ &(i) \quad \text{Lösen Sie die Integralgleichung: } y(x) = 1 + \int_{0}^{x} (x-t)y(t) \, dt && \\ &(j) \quad \text{Berechnen Sie den Wert der komplexen Zahl } \frac{(1+2i)(3-4i)}{2-3i}. && \\ & \textbf{Zweiter Teil - eine große Portion Cevapcici für denjenigen, der das schafft} && \\ & \textbf{Wer die Hälfte löst, bekommt ein Eis} && \\ &(a) \quad \text{Lösen Sie die Differentialgleichung: } \frac{d^2y}{dx^2} + 4\frac{dy}{dx} + 4y = e^{-2x}, \quad y(0) = 1, \quad y'(0) = -2 && \\ &(b) \quad \text{Berechnen Sie die komplexen Wurzeln der Gleichung: } z^4 + 2z^2 + 2 = 0 && \\ &(c) \quad \text{Lösen Sie das System linearer Differentialgleichungen:} \\ &\quad\quad \begin{cases} \frac{dx}{dt} = x + y \\ \frac{dy}{dt} = -2x + 3y \\ \end{cases} \quad \text{mit Anfangsbedingungen: } x(0) = 1, \quad y(0) = -1 && \\ &(d) \quad \text{Berechnen Sie die Fourier-Transformation der Funktion } f(t) = \sin^2(t) && \\ &(e) \quad \text{Berechnen Sie den Gradienten der Funktion } f(x, y, z) = 2x^2y + yz^3 + 3xyz^2 \text{ am Punkt } (1, -1, 2). && \\ &(f) \quad \text{Lösen Sie die lineare Regression für die gegebenen Daten:} \\ &\quad\quad \begin{vmatrix}{c|c} x & y \\ 1 & 3 \\ 2 & 5 \\ 3 & 7 \\ 4 & 9 \\ \end{vmatrix} && \\ &(g) \quad \text{Berechnen Sie die inverse Laplace-Transformation der Funktion } F(s) = \frac{3s+1}{s^2+2s+2}. && \\ &(h) \quad \text{Berechnen Sie die Tangential- und Normalvektoren an die Kurve:} \\ &\quad\quad \text{Kurve: } \begin{cases} x(t) = \sin(t) \\ y(t) = e^t \\ \end{cases} \quad \text{am Punkt } t = \frac{\pi}{4}. && \\ &(i) \quad \text{Lösen Sie das System nichtlinearer Gleichungen:} \\ &\quad\quad \begin{cases} x^2 + y^2 + z^2 = 6 \\ x^3 + y^3 + z^3 = 27 \\ x + y + z = 6 \\ \end{cases} && \\ &(j) \quad \text{Berechnen Sie die Laplace-Transformation der Funktion } f(t) = \cos^3(t) \sin(2t). && \\ & \textbf{Für diese Aufgabe gibt es auch Lamm} && \\ &(a) \quad \text{Um wie viele Dezimalstellen unterscheiden sich die Zahlen } \sqrt{2} \text{ und } \frac{99}{70}? && \\ &(b) \quad \text{Sei } N \text{ die kleinste natürliche Zahl, die durch alle Zahlen } 1, 2, 3, \ldots, 20 \text{ teilbar ist. Wie viele Ziffern hat } N? && \\ &(c) \quad \text{Wie viele natürliche Zahlen } n \text{ gibt es zwischen 1 und 1000 (einschließlich 1 und 1000), die durch mindestens eine der Zahlen } 3, 4 \text{ und } 5 \text{ teilbar sind?} && \\ &(d) \quad \text{Lösen Sie die Gleichung in den komplexen Zahlen: } z^6 = 64i. && \\ &(e) \quad \text{Sei } ABCD \text{ ein Quadrat mit Seitenlänge } 2. \text{ Seien } E \text{ und } F \text{ Punkte auf der Seite } BC \text{ so, dass } BE = CF = 1. \text{ Wie groß ist der Winkel } \angle EAF? && \\ &(f) \quad \text{Wie viele fünfstellige natürliche Zahlen gibt es, die aus fünf verschiedenen Ziffern bestehen und durch 11 teilbar sind?} && \\ &(g) \quad \text{Sei } n \text{ eine natürliche Zahl, so dass } 2^n + 1 \text{ durch } 7 \text{ teilbar ist. Welcher Rest bleibt bei der Division von } n \text{ durch } 6? && \\ &(h) \quad \text{Wie viele Lösungen gibt es in den komplexen Zahlen für das Gleichungssystem:} \\ &\quad\quad \begin{cases} z_1 + z_2 + z_3 = 5 \\ z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 = 9 \\ z_1^3 + z_2^3 + z_3^3 = 13 \\ \end{cases} && \\ &(i) \quad \text{Wie viele Lösungen hat das Gleichungssystem in den reellen Zahlen:} \\ &\quad\quad \begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 7 \\ x + y = 10 \\ \end{cases} && \\ &(j) \quad \text{Wie viele positive ganze Lösungen hat die Gleichung } x^2 - y^2 = 2019? \end{flalign*}