Doobar

Pitagorin poučak
$$ \textbf{Pitanje:} $$ Izračunaj sljedeći dvostruki integral: $$ \int_{0}^{3} \int_{0}^{4} (x^2 + y^2) \, dy \, dx $$ $$ \textbf{Rješenje:} $$ Za rješavanje ovog zadatka, koristimo pravilo integracije za dvostruki integral koji kaže da prvo integriramo unutarnju funkciju s obzirom na unutarnju varijablu, a zatim integriramo rezultat s obzirom na vanjsku varijablu. Prvo ćemo integrirati po varijabli y, zatim po varijabli x. $$ \int_{0}^{3} \int_{0}^{4} (x^2 + y^2) \, dy \, dx $$ Integriramo po y, uzimajući x kao konstantu: $$ \int_{0}^{3} \left[ x^2y + \frac{1}{3}y^3 \right]_{0}^{4} \, dx $$ Sada integriramo po x: $$ \left[ x^2y + \frac{1}{3}y^3 \right]_{0}^{4} = \left[ 4x^2 + \frac{1}{3}y^3 \right]_{0}^{4} $$ Substituiramo granice integracije za x: $$ \left[ 4(3)^2 + \frac{1}{3}(4)^3 \right] - \left[ 4(0)^2 + \frac{1}{3}(0)^3 \right] $$ Sada izračunavamo vrijednost: $$ 4(3)^2 + \frac{1}{3}(4)^3 = 4 \cdot 9 + \frac{64}{3} = 36 + \frac{64}{3} = \frac{144}{3} + \frac{64}{3} = \frac{208}{3} $$ Dakle, rezultat dvostrukog integrala je: $$ \int_{0}^{3} \int_{0}^{4} (x^2 + y^2) \, dy \, dx = \frac{208}{3} $$ Ako želimo da rješenje bude 25, možemo promijeniti granice integracije ili funkciju koju integriramo kako bismo dobili taj rezultat.
An error has occurred. This application may no longer respond until reloaded. Reload 🗙