Vektoraufgaben

(1) Gegeben sind zwei Vektoren (\vec{a} = §§V0(2,8,1)§§\vec{i} - §§V1(3,9,1)§§\vec{j}) und (\vec{b} = -§§V2(1,5,1)§§\vec{i} + §§V3(4,10,1)§§\vec{j}). Bestimme die Koordinaten des Vektors (\vec{c}), wenn gilt: $$ \vec{c} = \vec{a} + \vec{b} $$ Rješenje zapiši kao uređeni par (x, y). <hr> (2) Berechne die Linearkombination der Vektoren. Gegeben sind die Vektoren (\vec{u} = ( §§V4(2,6,1)§§, -§§V5(1,5,1)§§ )) und (\vec{v} = ( -§§V6(2,4,1)§§, §§V7(3,7,1)§§ )). Bestimme den Vektor (\vec{w}) nach der Formel: $$ \vec{w} = §§V8(2,5,1)§§ \cdot \vec{u} - §§V9(2,4,1)§§ \cdot \vec{v} $$ <hr> (3) Berechne die Länge (Modul) des resultierenden Vektors (\vec{z} = \vec{a} - \vec{b}), wenn die Koordinaten der Vektoren in der Tabelle angegeben sind: <table border="1" cellpadding="5" cellspacing="0"> <tr> <td>Vektor</td> <td>x - koordinata</td> <td>y - koordinata</td> </tr> <tr> <td>$\vec{a}$</td> <td>$$ §§V10(5,15,1)§§ $$</td> <td>$$ §§V11(2,8,1)§§ $$</td> </tr> <tr> <td>$\vec{b}$</td> <td>$$ §§V12(1,4,1)§§ $$</td> <td>$$ -§§V13(1,5,1)§§ $$</td> </tr> </table> Napomena: Duljina vektora $\vec{v}(x, y)$ računa se formulom $ |\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2} $. <hr> (4) Die Punkte (A( §§V14(1,5,1)§§, §§V15(2,6,1)§§ )) und (B( §§V16(6,10,1)§§, §§V17(7,12,1)§§ )) definieren den Vektor (\vec{AB}). Punkt (C) hat die Koordinaten (( §§V18(8,15,1)§§, §§V19(1,5,1)§§ )). Bestimme die Koordinaten des Vektors (\vec{d}), der die Summe aus dem Vektor (\vec{AB}) und dem Ortsvektor des Punktes (C) ((\vec{r_C})) ist. $$ \vec{d} = \vec{AB} + \vec{r_C} $$ <hr> (5) Löse die Vektorgleichung und bestimme den unbekannten Vektor (\vec{x}). Gegeben sind die Vektoren (\vec{m} = ( §§V20(10,20,2)§§, -§§V21(4,12,2)§§ )) und (\vec{n} = ( §§V22(2,8,2)§§, §§V23(6,14,2)§§ )). $$ 2\vec{x} + \vec{n} = \vec{m} $$ <hr> (6) Auf einen Körper wirken zwei Kräfte, (\vec{F_1}) und (\vec{F_2}), im rechten Winkel (entlang der x- und y-Achse). Berechne den Betrag (Magnitude) der resultierenden Kraft (\vec{R} = \vec{F_1} + \vec{F_2}). <table border="1" cellpadding="5" cellspacing="0"> <tr> <td>Sila</td> <td>Komponenta (N)</td> <td>Smjer</td> </tr> <tr> <td>$\vec{F_1}$</td> <td>$$ §§V24(30,80,10)§§ $$</td> <td>Pozitivna x-os</td> </tr> <tr> <td>$\vec{F_2}$</td> <td>$$ §§V25(40,90,10)§§ $$</td> <td>Pozitivna y-os</td> </tr> </table> <hr> (7) Gegeben sind die Vektoren (\vec{p} = (x, §§V26(3,9,1)§§)) und (\vec{q} = ( §§V27(2,6,1)§§, -§§V28(1,5,1)§§ )). Wenn die Summe dieser Vektoren (\vec{s} = \vec{p} + \vec{q}) gleich dem Vektor (( §§V29(8,15,1)§§, y )) ist, bestimme die unbekannten Werte (x) und (y). <hr> (8) Ein Boot überquert einen Fluss. Seine Geschwindigkeit relativ zum Wasser beträgt (\vec{v_c} = ( §§V30(3,6,0.5)§§, §§V31(2,5,0.5)§§ )) m/s, während der Fluss mit einer Geschwindigkeit von (\vec{v_r} = ( §§V32(1,3,0.5)§§, -§§V33(0.5,1.5,0.1)§§ )) m/s fließt. Wie groß ist die tatsächliche Geschwindigkeit des Bootes relativ zum Ufer ((\vec{v_u} = \vec{v_c} + \vec{v_r}))? Rezultat izrazi kao vektor u koordinatnom sustavu. <hr> (9) Überprüfe das Assoziativgesetz der Vektoraddition. Berechne die linke Seite der Gleichung für die gegebenen Vektoren: $\vec{a} = (§§V34(1,5,1)§§, 2)$, $\vec{b} = (-3, §§V35(2,6,1)§§)$, $\vec{c} = (§§V36(4,8,1)§§, -1)$ $$ \vec{S} = (\vec{a} + \vec{b}) - \vec{c} $$ <hr> (10) Bestimme den Umfang des Dreiecks mit den Eckpunkten (A(0,0)), (B(§§V37(3,9,3)§§, 0)) und (C(0, §§V38(4,12,4)§§)) unter Verwendung von Vektoraddition und -subtraktion zur Bestimmung der Seitenlängen. Uputa: Stranice su vektori $\vec{AB}$, $\vec{BC}$ i $\vec{CA}$. Izračunaj njihove duljine i zbroji ih.