Zadaci vektori

(1) Zadana su dva vektora $\vec{a} = §§V0(2,8,1)§§\vec{i} - §§V1(3,9,1)§§\vec{j}$ i $\vec{b} = -§§V2(1,5,1)§§\vec{i} + §§V3(4,10,1)§§\vec{j}$. Odredi koordinate vektora $\vec{c}$ ako vrijedi: $$ \vec{c} = \vec{a} + \vec{b} $$ Rješenje zapiši kao uređeni par (x, y). <hr> (2) Izračunaj linearnu kombinaciju vektora. Zadani su vektori $\vec{u} = ( §§V4(2,6,1)§§, -§§V5(1,5,1)§§ )$ i $\vec{v} = ( -§§V6(2,4,1)§§, §§V7(3,7,1)§§ )$. Odredi vektor $\vec{w}$ prema formuli: $$ \vec{w} = §§V8(2,5,1)§§ \cdot \vec{u} - §§V9(2,4,1)§§ \cdot \vec{v} $$ <hr> (3) Odredi duljinu (modul) rezultantnog vektora $\vec{z} = \vec{a} - \vec{b}$, ako su koordinate vektora zadane u tablici: <table border="1" cellpadding="5" cellspacing="0"> <tr> <td>Vektor</td> <td>x - koordinata</td> <td>y - koordinata</td> </tr> <tr> <td>$\vec{a}$</td> <td>$$ §§V10(5,15,1)§§ $$</td> <td>$$ §§V11(2,8,1)§§ $$</td> </tr> <tr> <td>$\vec{b}$</td> <td>$$ §§V12(1,4,1)§§ $$</td> <td>$$ -§§V13(1,5,1)§§ $$</td> </tr> </table> Napomena: Duljina vektora $\vec{v}(x, y)$ računa se formulom $ |\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2} $. <hr> (4) Točke $A( §§V14(1,5,1)§§, §§V15(2,6,1)§§ )$ i $B( §§V16(6,10,1)§§, §§V17(7,12,1)§§ )$ određuju vektor $\vec{AB}$. Točka $C$ ima koordinate $( §§V18(8,15,1)§§, §§V19(1,5,1)§§ )$. Odredi koordinate vektora $\vec{d}$ koji je zbroj vektora $\vec{AB}$ i radij-vektora točke $C$ ($\vec{r_C}$). $$ \vec{d} = \vec{AB} + \vec{r_C} $$ <hr> (5) Riješi vektorsku jednadžbu i odredi nepoznati vektor $\vec{x}$. Zadani su vektori $\vec{m} = ( §§V20(10,20,2)§§, -§§V21(4,12,2)§§ )$ i $\vec{n} = ( §§V22(2,8,2)§§, §§V23(6,14,2)§§ )$. $$ 2\vec{x} + \vec{n} = \vec{m} $$ <hr> (6) Na tijelo djeluju dvije sile, $\vec{F_1}$ i $\vec{F_2}$, pod pravim kutom (duž osi x i y). Izračunaj iznos (magnitudu) rezultantne sile $\vec{R} = \vec{F_1} + \vec{F_2}$. <table border="1" cellpadding="5" cellspacing="0"> <tr> <td>Sila</td> <td>Komponenta (N)</td> <td>Smjer</td> </tr> <tr> <td>$\vec{F_1}$</td> <td>$$ §§V24(30,80,10)§§ $$</td> <td>Pozitivna x-os</td> </tr> <tr> <td>$\vec{F_2}$</td> <td>$$ §§V25(40,90,10)§§ $$</td> <td>Pozitivna y-os</td> </tr> </table> <hr> (7) Zadani su vektori $\vec{p} = (x, §§V26(3,9,1)§§)$ i $\vec{q} = ( §§V27(2,6,1)§§, -§§V28(1,5,1)§§ )$. Ako je zbroj tih vektora $\vec{s} = \vec{p} + \vec{q}$ jednak vektoru $( §§V29(8,15,1)§§, y )$, odredi nepoznate vrijednosti $x$ i $y$. <hr> (8) Čamac prelazi rijeku. Njegova brzina u odnosu na vodu je $\vec{v_c} = ( §§V30(3,6,0.5)§§, §§V31(2,5,0.5)§§ )$ m/s, dok rijeka teče brzinom $\vec{v_r} = ( §§V32(1,3,0.5)§§, -§§V33(0.5,1.5,0.1)§§ )$ m/s. Koja je stvarna brzina čamca u odnosu na obalu ($\vec{v_u} = \vec{v_c} + \vec{v_r}$)? Rezultat izrazi kao vektor u koordinatnom sustavu. <hr> (9) Provjeri svojstvo asocijativnosti zbrajanja vektora. Izračunaj lijevu stranu jednakosti za zadane vektore: $\vec{a} = (§§V34(1,5,1)§§, 2)$, $\vec{b} = (-3, §§V35(2,6,1)§§)$, $\vec{c} = (§§V36(4,8,1)§§, -1)$ $$ \vec{S} = (\vec{a} + \vec{b}) - \vec{c} $$ <hr> (10) Odredi opseg trokuta čiji su vrhovi točke $A(0,0)$, $B(§§V37(3,9,3)§§, 0)$ i $C(0, §§V38(4,12,4)§§)$ koristeći zbrajanje i oduzimanje vektora za određivanje duljina stranica. Uputa: Stranice su vektori $\vec{AB}$, $\vec{BC}$ i $\vec{CA}$. Izračunaj njihove duljine i zbroji ih.