<table class='table'> <tr> <td> \(a^n \cdot a^m = a^{n+m}\) </td> <td>Produkt von Potenzen: Wenn die Basen gleich sind, werden die Exponenten addiert.</td> </tr> <tr> <td> \(\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}\) </td> <td>Quotient von Potenzen: Wenn die Basen gleich sind, werden die Exponenten subtrahiert.</td> </tr> <tr> <td> \((a^n)^m = a^{n \cdot m}\) </td> <td>Potenz einer Potenz: Ein Exponent wird mit einem anderen multipliziert, wenn er hochgenommen wird.</td> </tr> <tr> <td> \(a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n\) </td> <td>Produkt von ähnlichen Potenzen: Wenn die Basen multipliziert werden, wird ein gemeinsamer Exponent herausgezogen.</td> </tr> <tr> <td> \(\frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n\) </td> <td>Quotient von ähnlichen Potenzen: Wenn die Basen dividiert werden, wird ein gemeinsamer Exponent herausgezogen.</td> </tr> </table> U redu, evo završenih ispravljenih verzija: ```latex Zamjeni $$ sa \( i \) \( 2x^2 - 4x + \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 2} \cdot \sqrt{3 \cdot 15 \cdot 3} = 0 \) Diese Aufgabe erfordert die Anwendung quadratischer Gleichungen in Verbindung mit Wurzelberechnungen. Finden Sie die Lösung für \( x \). (c) Multiplizieren Sie: \( \sqrt{3 \cdot 15 \cdot 3} \cdot \sqrt{3 \cdot 15 \cdot 3} \) In dieser Aufgabe sollen Sie zwei Quadratwurzeln miteinander multiplizieren. Berechnen Sie das Ergebnis. (d) Teilen Sie: \( \frac{\sqrt{3 \cdot 15 \cdot 3}}{\sqrt{3 \cdot 15 \cdot 3}} \) Hier ist die Division zweier Quadratwurzeln gefragt. Führen Sie die Division durch, um das Ergebnis zu erhalten. (e) Berechnen Sie: \( \frac{\sqrt{3 \cdot 15 \cdot 3} \cdot \sqrt{3 \cdot 15 \cdot 3}}{\sqrt{3 \cdot 15 \cdot 3}} \) Diese Aufgabe kombiniert die Multiplikation und Division von Quadratwurzeln. Nutzen Sie Ihre Kenntnisse, um die Lösung zu finden. (f) Vereinfachen Sie den folgenden Ausdruck: \( \sqrt{3 \cdot 15 \cdot 3} \cdot \sqrt{3 \cdot 15 \cdot 3} \cdot \sqrt{3 \cdot 15 \cdot 3} \) In dieser Aufgabe sollen Sie drei Quadratwurzeln miteinander multiplizieren und das vereinfachte Ergebnis angeben. (g) Bestimmen Sie den Wert des folgenden Ausdrucks: \( \frac{\sqrt{3 \cdot 15 \cdot 3} \cdot \sqrt{3 \cdot 15 \cdot 3}}{\sqrt{3 \cdot 15 \cdot 3} \cdot \sqrt{3 \cdot 15 \cdot 3}} \) Hier ist die Bestimmung des Werts eines Ausdrucks gefragt, der mehrere Quadratwurzeln und ihre Divisionen beinhaltet. Finden Sie den Wert. (h) Multiplizieren Sie die folgenden Wurzeln miteinander: \( \sqrt{3 \cdot 15 \cdot 3} \cdot \sqrt{3 \cdot 15 \cdot 3} \cdot \sqrt{3 \cdot 15 \cdot 3} \) Diese Aufgabe erfordert die Multiplikation von drei Quadratwurzeln. Berechnen Sie das Ergebnis. (i) Teilen Sie die folgenden Wurzeln: \( \frac{\sqrt{3 \cdot 15 \cdot 3} \cdot \sqrt{3 \cdot 15 \cdot 3}}{\sqrt{3 \cdot 15 \cdot 3} \cdot \sqrt{3 \cdot 15 \cdot 3}} \) In dieser Aufgabe sollen Sie zwei Wurzeln miteinander teilen. Berechnen Sie das Ergebnis. (j) Berechnen Sie: \( \frac{\sqrt{3 \cdot 15 \cdot 3}}{2} \cdot \left(\frac{3}{5} + \frac{4}{7}\right) + 1 + \frac{q^2}{(1-q)}+\frac{q^6}{(1-q)(1-q^2)}+\cdots = \prod_{j=0}^{\infty}\frac{1}{(1-q^{5j+2})(1-q^{5j+3})}, \quad\quad \text{for } |q| < 1 \)