\( (a) \text{Riješi sustav jednadžbi:} \) \( (b) \text{Izračunaj odvod funkcije } f(x) = \sin(2x) + e^x \) \( f'(x) = 2\cos(2x) + e^x \) \( (c) \text{Riješi diferencijalnu jednadžbu: } \frac{dy}{dx} = 3x^2 - 2x + 1, \quad y(0) = 2 \) \( y(x) = x^3 - x^2 + x + 2 \) \( (d) \text{Izračunaj određeni integral: } \int_{0}^{1} x^2 \cos(x) \, dx \) \( \left[ x^2 \sin(x) + 2(x \cos(x) + \sin(x)) \right]_{0}^{1} = 2 \sin(1) + 2 \cos(1) \) \( (e) \text{Razloži funkciju } f(x) = \frac{1}{(x-1)(x+2)} \text{ u parcijalne razlomke.} \) \( \frac{1}{(x-1)(x+2)} = \frac{1}{3(x-1)} - \frac{1}{3(x+2)} \) \( (f) \text{Izračunaj Laplaceovu transformaciju funkcije } f(t) = 3e^{2t} \sin(4t) \) \( \mathcal{L}\{3e^{2t} \sin(4t)\} = \frac{12}{(s-2)^2 + 16} \) \( (g) \text{Izračunaj determinantu matrice:} \) \( (h) \text{Pokaži da je funkcija } f(x) = x^3 \text{ invertibilna na skupu realnih brojeva.} \) \( \text{Funkcija } f(x) = x^3 \text{ je strogo monotona (rastuca), stoga je invertibilna.} \) \( (i) \text{Riješi integralnu jednadžbu: } y(x) = 1 + \int_{0}^{x} (x-t)y(t) \, dt \) \( \text{Rješenje je } y(x) = e^x \) \( (j) \text{Izračunaj vrijednost kompleksnog broja } \frac{(1+2i)(3-4i)}{2-3i}. \) \( \frac{(1+2i)(3-4i)}{2-3i} = \frac{(1+2i)(3-4i)(2+3i)}{(2-3i)(2+3i)} = \frac{17+1i}{13} = \frac{17}{13} + \frac{1}{13}i \) \( \textbf{ Drugi dio - velika porcija ćevosa tko odradi i ovo } \) \( \textbf{ Tko riješi pola dobije sladoled } \) \( (a) \text{Riješi diferencijalnu jednadžbu: } \frac{d^2y}{dx^2} + 4\frac{dy}{dx} + 4y = e^{-2x}, \quad y(0) = 1, \quad y'(0) = -2 \) \( \text{Partikularno rješenje: } y_p = -\frac{1}{4}x e^{-2x} \) \( \text{Opće rješenje: } y(x) = (C_1 + C_2 x)e^{-2x} - \frac{1}{4}x e^{-2x} \) \( \text{Korištenjem početnih uvjeta: } y(x) = (1 + x)e^{-2x} \) \( (b) \text{Izračunaj kompleksne korijene jednadžbe: } z^4 + 2z^2 + 2 = 0 \) \( z^2 = -1 \pm i \) \( \text{Korijeni su: } z = \pm \sqrt[4]{2} e^{i \pi/8}, \, \pm \sqrt[4]{2} e^{-i \pi/8} \) \( (c) \text{Riješi sustav linearnih diferencijalnih jednadžbi:} \) \( \begin{cases} \frac{dx}{dt} = x + y \frac{dy}{dt} = -2x + 3y \end{cases} \) \( \text{Korištenjem matrica i vlastitih vrijednosti: } \lambda_1 = 1, \, \lambda_2 = 3 \) \( \text{Rješenje: } x(t) = (C_1 e^t + C_2 e^{3t}), \, y(t) = (C_1 e^t + 3C_2 e^{3t}) \) \( \text{Korištenjem početnih uvjeta: } x(t) = e^t - e^{3t}, \, y(t) = e^t - 3e^{3t} \) \( (d) \text{Izračunaj Fourierovu transformaciju funkcije } f(t) = \sin^2(t) \) \( \mathcal{F}\{\sin^2(t)\} = \mathcal{F}\{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(2t)\} = \pi \delta(\omega) - \frac{1}{2}[\delta(\omega - 2) + \delta(\omega + 2)] \) \( (e) \text{Izračunaj gradijent funkcije } f(x, y, z) = 2x^2y + yz^3 + 3xyz^2 \text{ u točki } (1, -1, 2). \) \( \nabla f = (4xy + 3yz^2, 2x^2 + z^3 + 3xz^2, 3yz^2 + 6xyz) \) \( \nabla f(1, -1, 2) = (4, -7, -12) \) \ \( (f) \text{Riješi linearnu regresiju za dane podatke:} \) \( y = 2x + 1 \) \( (g) \text{Izračunaj Laplaceovu inverznu transformaciju funkcije } F(s) = \frac{3s+1}{s^2+2s+2}. \) \( \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{3s+1}{s^2+2s+2}\right\} = 3e^{-t}\cos(t) + 2e^{-t}\sin(t) \) \( (h) \text{Izračunaj vektore tangentnog i normalnog prostora na krivulju:} \)