Задачі на вектори

(1) Дано два вектори (\vec{a} = §§V0(2,8,1)§§\vec{i} - §§V1(3,9,1)§§\vec{j}) и (\vec{b} = -§§V2(1,5,1)§§\vec{i} + §§V3(4,10,1)§§\vec{j}). Визначте координати вектора (\vec{c}), якщо виконується умова: $$ \vec{c} = \vec{a} + \vec{b} $$ Rješenje zapiši kao uređeni par (x, y). <hr> (2) Обчисліть лінійну комбінацію векторів. Дано вектори (\vec{u} = ( §§V4(2,6,1)§§, -§§V5(1,5,1)§§ )) та (\vec{v} = ( -§§V6(2,4,1)§§, §§V7(3,7,1)§§ )). Визначте вектор (\vec{w}) за формулою: $$ \vec{w} = §§V8(2,5,1)§§ \cdot \vec{u} - §§V9(2,4,1)§§ \cdot \vec{v} $$ <hr> (3) Обчисліть довжину (модуль) результуючого вектора (\vec{z} = \vec{a} - \vec{b}), якщо координати векторів задані в таблиці: <table border="1" cellpadding="5" cellspacing="0"> <tr> <td>Vektor</td> <td>x - koordinata</td> <td>y - koordinata</td> </tr> <tr> <td>$\vec{a}$</td> <td>$$ §§V10(5,15,1)§§ $$</td> <td>$$ §§V11(2,8,1)§§ $$</td> </tr> <tr> <td>$\vec{b}$</td> <td>$$ §§V12(1,4,1)§§ $$</td> <td>$$ -§§V13(1,5,1)§§ $$</td> </tr> </table> Napomena: Duljina vektora $\vec{v}(x, y)$ računa se formulom $ |\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2} $. <hr> (4) Точки (A( §§V14(1,5,1)§§, §§V15(2,6,1)§§ )) і (B( §§V16(6,10,1)§§, §§V17(7,12,1)§§ )) визначають вектор (\vec{AB}). Точка (C) має координати (( §§V18(8,15,1)§§, §§V19(1,5,1)§§ )). Визначте координати вектора (\vec{d}), який є сумою вектора (\vec{AB}) та радіус-вектора точки (C) ((\vec{r_C})). $$ \vec{d} = \vec{AB} + \vec{r_C} $$ <hr> (5) Розв'яжіть векторне рівняння та визначте невідомий вектор (\vec{x}). Дано вектори (\vec{m} = ( §§V20(10,20,2)§§, -§§V21(4,12,2)§§ )) та (\vec{n} = ( §§V22(2,8,2)§§, §§V23(6,14,2)§§ )). $$ 2\vec{x} + \vec{n} = \vec{m} $$ <hr> (6) На тіло діють дві сили, (\vec{F_1}) та (\vec{F_2}), під прямим кутом (уздовж осей x та y). Обчисліть величину (модуль) результуючої сили (\vec{R} = \vec{F_1} + \vec{F_2}). <table border="1" cellpadding="5" cellspacing="0"> <tr> <td>Sila</td> <td>Komponenta (N)</td> <td>Smjer</td> </tr> <tr> <td>$\vec{F_1}$</td> <td>$$ §§V24(30,80,10)§§ $$</td> <td>Pozitivna x-os</td> </tr> <tr> <td>$\vec{F_2}$</td> <td>$$ §§V25(40,90,10)§§ $$</td> <td>Pozitivna y-os</td> </tr> </table> <hr> (7) Дано вектори (\vec{p} = (x, §§V26(3,9,1)§§)) та (\vec{q} = ( §§V27(2,6,1)§§, -§§V28(1,5,1)§§ )). Якщо сума цих векторів (\vec{s} = \vec{p} + \vec{q}) дорівнює вектору (( §§V29(8,15,1)§§, y )), визначте невідомі значення (x) та (y). <hr> (8) Човен перетинає річку. Його швидкість відносно води становить (\vec{v_c} = ( §§V30(3,6,0.5)§§, §§V31(2,5,0.5)§§ )) м/с, тоді як річка тече зі швидкістю (\vec{v_r} = ( §§V32(1,3,0.5)§§, -§§V33(0.5,1.5,0.1)§§ )) м/с. Яка фактична швидкість човна відносно берега ((\vec{v_u} = \vec{v_c} + \vec{v_r}))? Rezultat izrazi kao vektor u koordinatnom sustavu. <hr> (9) Перевірте асоціативну властивість додавання векторів. Обчисліть ліву частину рівності для заданих векторів: $\vec{a} = (§§V34(1,5,1)§§, 2)$, $\vec{b} = (-3, §§V35(2,6,1)§§)$, $\vec{c} = (§§V36(4,8,1)§§, -1)$ $$ \vec{S} = (\vec{a} + \vec{b}) - \vec{c} $$ <hr> (10) Визначте периметр трикутника, вершинами якого є точки (A(0,0)), (B(§§V37(3,9,3)§§, 0)) і (C(0, §§V38(4,12,4)§§)), використовуючи додавання та віднімання векторів для визначення довжин сторін. Uputa: Stranice su vektori $\vec{AB}$, $\vec{BC}$ i $\vec{CA}$. Izračunaj njihove duljine i zbroji ih.